Segundo tópico:
Tópico 2- Paradoxos de Zenão (infinito)
Leia o trecho abaixo:
É, no mínimo, curiosa, a íntima relação entre os conceitos de indivisível e infinitesimal. Apesar dos seus significados extremamente opostos (ou admite-se a existência do elemento indivisível, ou a possibilidade de se dividir indefinidamente – infinitamente - uma quantidade, por menor que seja), os infinitesimais (ou indivisíveis matemáticos) e os indivisíveis eram conceitos que já estavam presentes no desenvolvimento da ciência grega.
Foi Zenão quem descobriu, com os seus paradoxos, uma anomalia em ambas as atividades "normais" da matemática na época. Com o paradoxo de Aquiles, visto na unidade 3, e o paradoxo da Dicotomia, Zenão "prova" que "se o espaço e o tempo são (infinitamente) divisíveis então o movimento é impossível". O filósofo "prova" ainda, citando dois outros paradoxos (a Flecha e o Estádio), que “se o espaço e o tempo possuem elementos indivisíveis, então o movimento é impossível”.
As soluções desses paradoxos estão relacionadas com o desenvolvimento de outros conceitos básicos do Cálculo, como os de infinito, continuidade, número real e derivada. No entanto, a impotência dos gregos de resolverem tais paradoxos, junto com a anomalia identificada pelos pitagóricos dos segmentos incomensuráveis, vai desencadear a primeira grande crise na matemática grega (e por que não dizer, do Cálculo). Uma crise que suscitará um outro conceito fundamental do Cálculo.
A que conceito fundamental do Cálculo se refere o texto acima? Justifique sua resposta e resolva o paradoxo de Aquiles, utilizando o referido conceito.
O que este paradoxo diz é que
numa corrida em que o mais lento começa com vantagem, enquanto o mais lento
estiver a correr nunca será ultrapassado pelo mais veloz, pois aquele que
persegue tem primeiro de chegar ao ponto de onde a fuga do mais lento começou,
pelo que o mais lento tem necessariamente de já estar alguma distância à
frente. Ou seja, antes de apanhar o mais lento, o mais veloz terá sempre de
alcançar o ponto onde o mais lento estava anteriormente.
Na
transmissão tradicional deste paradoxo temos uma corrida entre Aquiles, o herói
grego da Ilíada de Homero, forte e corajoso como nenhum,
simbolizando a velocidade, e opostamente a tartaruga, símbolo da lentidão.
A
conclusão parece ser um pouco estranha, mas é o resultado do seguinte
raciocínio: a tartaruga (o mais lento) começa a corrida com uma determinada
vantagem sobre Aquiles (o mais veloz); quando Aquiles chega ao ponto de onde
começou a tartaruga, esta já lá não está e apesar de não ter andado tanto como
Aquiles, já está num segundo ponto mais à frente; prosseguindo a corrida,
quando Aquiles chega a esse segundo ponto, já a tartaruga estará mais à frente
num terceiro ponto; quando Aquiles chegar a esse terceiro ponto, já a tartaruga
estará mais à frente num quarto ponto; e assim sucessivamente. Logo, apesar de
Aquiles estar cada vez mais próximo da tartaruga nunca chega a alcançá-la, pois
sempre que chega ao ponto onde estava a tartaruga num momento atrás, já ela
está mais à frente. Portanto, desde que não pare, a tartaruga irá sempre à
frente e ganhará a corrida, pois Aquiles poderia correr infinitamente que não a
apanharia!
A
lógica deste paradoxo é semelhante à do paradoxo da dicotomia, com a
diferença de em vez de se ter um corpo em movimento, agora se tem dois corpos
em movimento com velocidades diferentes. Como seria de esperar, é possível
Aquiles ultrapassar a tartaruga, no entanto, o raciocínio apresentado até é
lógico, com exceção da conclusão.
Zenão, com este paradoxo e o da dicotomia, pretendia
desacreditar os defensores da continuidade de um movimento, ou seja, aqueles
que defendiam a infinita divisibilidade do espaço. Neste paradoxo, tal como no
paradoxo da dicotomia, faz-se confusão entre uma distância infinita e uma
distância infinitamente divisível, pois podemos considerar que Aquiles tem de
percorrer um número infinito de intervalos que são aqueles que a tartaruga tem
de vantagem sobre ele sempre que chega ao ponto onde ela estava antes de
iniciar esse intervalo: o intervalo inicial entre Aquiles e a tartaruga; o
intervalo que a tartaruga percorreu enquanto Aquiles chegou onde ela estava no
início; o intervalo que Aquiles percorreu até onde a tartaruga avançou enquanto
ele chegou ao ponto inicial da tartaruga; e assim sucessivamente.
Vejamos
um exemplo prático: suponhamos que Aquiles parte com um avanço de 1000 metros e
que se move 10 vezes mais depressa que a tartaruga; quando Aquiles acaba de
percorrer 1000 metros, já a tartaruga percorreu 100 metros (reduziu-se a
distância em 900 metros, sendo agora de 100); Aquiles percorre estes 100
metros, mas durante este tempo, a tartaruga percorre 10 metros (reduziu-se a
distância para 10 metros); Aquiles percorre estes 10 metros, mas durante este
tempo, a tartaruga percorreu um metro (reduziu-se a distância para 1 metro);
Aquiles percorre este metro, mas, entretanto já a tartaruga avançou 0,1 metros
(reduz-se a distância para 0,1 metro); e assim sucessivamente. Quererá isto
dizer que de fato Aquiles não apanha a tartaruga? Não, mais uma vez o
raciocínio subjacente a este paradoxo pressupunha que somando uma infinidade de
números se conseguiria o infinito, mas isso não é verdade.
Material completo disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm25/paradoxosd.htm
Então porque que identifiquei o conceito de limite no texto?
Por perceber que se trata de um processo de aproximação ao infinito, ou seja, Zenão 'criava resultados tão menores quanto queria' ( a diferença da distancia entre Aquiles e a tartaruga por menor que seja sempre irá existir, por isso Aquiles nunca alcançaria a tartaruga).
Exemplo: 0,0001
Esse número pode ser tão pequeno quanto eu queira... 0,00001; 0,000001 e assim sucessivamente.
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