Tópico 1- Segmentos incomensuráveis
1 - Medir é uma operação que, em geral, realizamos com bastante freqüência no nosso dia-a-dia. Medimos comprimentos, o tempo, o peso, etc. Mas o que é medir?
2 - Vimos na unidade 2 que a diagonal e o lado de um quadrado são segmentos incomensuráveis. Isto quer dizer que não existe uma subunidade u que caiba uma quantidade inteira de vezes simultaneamente nesses dois segmentos, no lado e na diagonal.
A partir dessa idéia, um professor propõe a seguinte situação:
Na figura abaixo, o lado do quadrado AEFG mede o dobro do lado do quadrado ABCD.
Responda:
a) Os segmentos AB e AC são comensuráveis?
b) Os segmentos AC e AF são comensuráveis?
c) No(s) caso(s) em que os segmentos forem comensuráveis, expresse a medida do maior em relação ao menor.
2.1 Responda as questões propostas pelo professor.
2.2 Que conceitos matemáticos da educação básica estão presentes nesta atividade?
2.3 Como, em sua prática docente, você articularia esta atividade com o texto da unidade 2 que você leu?
Eis minhas respostas:
1 - Medir é uma operação que, em geral, realizamos com bastante freqüência no nosso dia-a-dia. Medimos comprimentos, o tempo, o peso, etc. Mas o que é medir?
Medir é comparar uma quantidade de uma grandeza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe como "unidade".
Disponível em: http://educar.sc.usp.br/ciencias/fisica/mf5.htm
a) Os segmentos AB e AC são comensuráveis?
Sendo AB = x, AC= xV2 e a razão entre eles V2 , os segmentos AB e AC são incomensuráveis.
Gostaria de compartilhar um parágrafo do livro de Boyer, pág. 50 (Incomensurabilidade) que diz que Aristóteles prova a incomensurabilidade da diagonal de um quadrado com seu lado, baseando-se na distinção entre pares e ímpares:
Sejam d e l a diagonal e o lado de um quadrado e suponhamos que sejam comensuráveis, isto é, que a razão d/l é racional e igual a , onde p e q são números inteiros sem fator comum. Do teorema de Pitágoras temos: d² = l² + l² , donde (d/l)² = p²/q² = 2 ou ainda, p² = 2q². Logo p² deve ser par, e então p é par, portanto q deve ser ímpar. Fazendo p = 2r e substituindo na equação p² = 2q² vem 4r² = 2q², ou q² = 2r². Então q² deve ser par, logo q é par. Mas tínhamos provado acima que q deve ser ímpar e um inteiro não pode ser ao mesmo tempo par e ímpar. Resulta pois, pelo método indireto, que a hipótese de serem d e l comensuráveis deve ser falsa.
Sendo AB = x, AC= xV2 e a razão entre eles V2 , os segmentos AB e AC são incomensuráveis.
Gostaria de compartilhar um parágrafo do livro de Boyer, pág. 50 (Incomensurabilidade) que diz que Aristóteles prova a incomensurabilidade da diagonal de um quadrado com seu lado, baseando-se na distinção entre pares e ímpares:
Sejam d e l a diagonal e o lado de um quadrado e suponhamos que sejam comensuráveis, isto é, que a razão d/l é racional e igual a , onde p e q são números inteiros sem fator comum. Do teorema de Pitágoras temos: d² = l² + l² , donde (d/l)² = p²/q² = 2 ou ainda, p² = 2q². Logo p² deve ser par, e então p é par, portanto q deve ser ímpar. Fazendo p = 2r e substituindo na equação p² = 2q² vem 4r² = 2q², ou q² = 2r². Então q² deve ser par, logo q é par. Mas tínhamos provado acima que q deve ser ímpar e um inteiro não pode ser ao mesmo tempo par e ímpar. Resulta pois, pelo método indireto, que a hipótese de serem d e l comensuráveis deve ser falsa.
b) Os segmentos AC e AF são comensuráveis?
Sendo AC= 2xV2
, AF =x V2, operando a divisão teremos razão igual a 2, ou seja um número racional. Logo os segmentos AC e AF são comensuráveis.
Sendo AC= 2xV2
, AF =x V2, operando a divisão teremos razão igual a 2, ou seja um número racional. Logo os segmentos AC e AF são comensuráveis. c) No(s) caso(s) em que os segmentos forem comensuráveis, expresse a medida do maior em relação ao menor.
A medida do maior em relação ao menor será o dobro.
2V2x
/V2 x = 4/2 = 2 2.2 Que conceitos matemáticos da educação básica estão presentes nesta atividade?
O assunto nos permite trabalhar vários assuntos como: figuras planas, teorema de Pitágoras, razão e proporção, racionalização de denominadores, números racionais e irracionais.
2.3 Como, em sua prática docente, você articularia esta atividade com o texto da unidade 2 que você leu?
A partir dessa atividade focaria no conjunto dos números irracionais, buscando que os próprios alunos a partir dos cálculos percebessem a necessidade de ampliar os conjuntos numéricos. Visaria a construção desse conhecimento junto aos alunos e não simplesmente passar a definição logo no início.
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